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是个啥坑？ 一个项目中用到一个传感器测量一物理量，这里假定测量温度吧。需要判断其变化趋势，利用这个变化趋势去做一些应用。 那么要怎么判断一个物理量的变化趋势呢？我们能自然能想到去求取该随机序列的变化率。这里涉及到一些数序定义。随机序列有很多可能的来源，最为常见是我之前在<<模数采样知多少>>中介绍的模数采样。 这样将S(t)信号转换为离散信号序列S(n)，那么对于当前时刻其斜率怎么求取呢？(这里忽略中间的过度态，仅将其看为线段相连，当然现实应用中如果有更高要求，可以做曲线拟合) 
但是如果只判断，斜率极容易误判，比如下面这样的情况： 
其斜率一会儿正，一会儿负，但是其总体趋势又是在增加的，所以只考察斜率显然不可取，获取需要在代码在加各种复杂的条件或者限值去判断。即使加这么多条件系统仍然可能表现的非常不健壮。 
对于模拟信号2而言，趋势又在不断变化。那么怎么做才能稳定呢？先卖个关子？ 
函数的凹凸性 凹函数 凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C（区间）上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1<x2和任意的实数t属于(0,1),总有, 
则称函数f为l上凹函数，有的书上也称为下凸函数。 
如果把上述条件中的“≥”改成“>”，则叫做严格上凹函数，或叫做严格下凸函数。 上面是一维函数情况，这里来个2维函数的图，方便理解。 
凸函数 设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1<x2和任意的实数t属于(0,1)，上面不等式变成大于等于，则在该区间为凸函数。 
可见，凹凸是相对的，如f(x)在某区间为凹，则-f(x)则在该区间为凸。 性质 若一个函数在某区间二阶可导且大于0，则函数在该区间为凹函数 若一个函数在某区间二阶可导且小于0，则函数在该区间为凸函数 证明，这里就不推导了，可以利用拉格朗日中值定理可以推导出上面这个性质。 来看一下会动的图,加深一下理解: 
函数 
sin(2x)的一阶导数为： 
sin(2x)的二阶导数为： 
装逼结束，也可能没装对～～～ 
回到坑里 通过上面装逼，是否可以利用离散序列的求导数来判断传感器的变化趋势。啥？导数？又要开始表演了？ 
前面说了一阶导数是这样的： 
那么二阶导数是哪样捏？ 
化简一下： 
其中S[n]表示当前测量点，S[n-1]表示前一个测量点，S[n-2]表示前第2个测量点。 上代码 #include <stdio.h> #include <math.h> #include <string.h> typedef struct _T_2ND_DRV { float xn1; float xn2; }t_2ND_DRV; typedef struct _T_1ST_DRV { float xn1; }t_1ST_DRV; void init_second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv) { pSndDrv->xn1 = 0; pSndDrv->xn2 = 0; } float second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv, float xn,float T) { float result=0.0f; if(T<=0) return 0x7FBFFFFF; /*非法数据*/ result = (xn-2*pSndDrv->xn1+pSndDrv->xn2)/T/T; pSndDrv->xn2 = pSndDrv->xn1; pSndDrv->xn1 = xn; return result; } void init_fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv) { p1stDrv->xn1 = 0; } float fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv, float xn,float T) { float result=0.0f; if(T<=0) return 0x7FBFFFFF; /*非法数据*/ result = (xn-p1stDrv->xn1)/T; p1stDrv->xn1 = xn; return result; } #define PI 3.1415f #define SAMPLE_RATE 500.0f #define SAMPLE_T (1/SAMPLE_RATE) #define SAMPLE_SIZE (100) int main() { float sim1[SAMPLE_SIZE]; float sim2[SAMPLE_SIZE]; float out1[SAMPLE_SIZE]; float out2[SAMPLE_SIZE]; t_2ND_DRV sndDrv; t_1ST_DRV frtDrv; init_fisrt_derivative(&frtDrv); init_second_derivative(&sndDrv); FILE *pFile=fopen("./simulationSin.csv","wt+"); if(pFile==NULL) { printf("simulationSin.csv opened failed"); return -1; } for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++) { sim1=10*sin(2*PI*10*i/500); } for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++) { out1=fisrt_derivative(&frtDrv,sim1,SAMPLE_T); out2=second_derivative(&sndDrv,sim1,SAMPLE_T); fprintf(pFile,"%f,%f,%f\n",sim1,out1,out2); } fclose(pFile); return 0; } 忽略前两个点，利用excel生成曲线： 
从图中可看出： 一阶导数为正时，函数递增趋势； 一阶导数为负时，函数递减趋势； 二阶导数为0时，出现拐点，趋势改变；此时如果左右两侧的一阶导符号相反，则出现极值。 二阶导数为负时，其一阶导数也即原函数斜率规律单调减，二阶导数为正时，其一阶导数也即原函数斜率规律单调增。 再进一步： 一阶导数与二阶导数结合起来看，就可以看出测量值变化趋势的趋势，比如在前1/4周期，此区间变换趋势为增，也即一阶导数为正，而其二阶导数为负，也可以看出递增的趋势是逐渐减小到0的。 代码优化 如果只是做定性判断，上述函数，完全没必要与采样周期做除法，只需要考察其增量即可，代码可优化如下： typedef struct _T_2ND_DRV { float xn1; float xn2; }t_2ND_DRV; typedef struct _T_1ST_DRV { float xn1; }t_1ST_DRV; void init_second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv) { pSndDrv->xn1 = 0; pSndDrv->xn2 = 0; } float second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv, float xn) { float result=0.0f; result = xn-2*pSndDrv->xn1+pSndDrv->xn2; pSndDrv->xn2 = pSndDrv->xn1; pSndDrv->xn1 = xn; return result; } void init_fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv) { p1stDrv->xn1 = 0; } float fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv, float xn) { float result=0.0f; result = xn-p1stDrv->xn1; p1stDrv->xn1 = xn; return result; } 意外收获 这里意外引入一个可能很多人没注意的知识点NaN，在计算中，NaN代表非数字，是数字数据类型的成员，可以将其解释为不确定的或无法表示的值，尤其是在浮点运算中。1985年，IEEE 754浮点标准引入了NaN的系统使用，并表示了其他无限量（如无穷大）。 前述函数返回0x7FBFFFFF,也就是表示无穷大。 不同的操作系统和编程语言可能具有NaN的不同字符串表示形式： nan NaN NaN% NAN NaNQ NaNS qNaN sNaN 1.#SNAN 1.#QNAN -1.#IND 实际上，由于编码的NaN具有符号，因此通常也可以在NaN的字符串表示中找到它们，例如： -NaN NaN12345 -sNaN12300 -NaN(s1234) 工程应用 这里给出我的建议方案： 
将传感器信号经由电路处理，模数采样，在进入前级数字滤波器，滤除不必要的噪声，在进行一阶/二阶求导。对于一阶和二阶求导再做一级移动平均滤波，最后在按照上面描述进行判别变化趋势，基本比较健壮了。实际移动均值滤波长度不宜选择过长，否则响应就比较滞后了。不能对传感器的变化趋势做出实时的判别。加了后级均值滤波器，则会消除由于波形忽上忽下的随机噪声干扰影响，使得系统判别更为健壮，实际滤波器长度需根据不同的场合进行调试优化。或者也可以选择别的IIR/FIR滤波器形式实现。 总结一下 做为嵌入式er编程，有时候有必要去看看数学书，了解一下数学原理的背后故事，可能会给你带来意想不到的作用哦。 |
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期望能够分享更多的知识！