1 前言

Q格式是二进制的定点数格式，相对于浮点数，Q格式指定了相应的小数位数和整数位数，在没有浮点运算的平台上，可以更快地对浮点数据进行处理，以及应用在需要恒定分辨率的程序中（浮点数的精度是会变化的）；需要注意的是Q格式是概念上小数定点，通过选择常规的二进制数整数位数和小数位数，从而达到所需要的数值范围和精度，这里可能有点抽象，下面继续看介绍。

2 Q数据的表示2.1 范围和精度

定点数通常表示为，其中m为整数个数，n为小数个数，其中最高位位符号位并且以二进制补码的形式存储；

• 范围：
• 精度：
  
  

无符号的用 表示；

• 范围：
• 精度：
  
  

2.2 推导

无符号Q格式数据的推导
这里以一个16位无符号整数为例， 所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示；

所以不难看出， 的范围大小和精度；
根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：

小数域最大值如下：

因此 的范围满足 ；

有符号Q格式数据的推导
这里以一个16位有符号整数为例， 所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示；

所以不难求出， 的范围大小和精度；
根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：

小数域最大值如下：

因此最大能表示的数为： ；

所能表示的最小数据的二进制形式如下图所示；

可以从图中看到，该数表示为；

补充一下：负数在计算机中是补码的形式存在的，补码=反码+1，符号位为1则表示为负数；
那么-4该如何表示呢？
以8 bit数据为例，如下所示；
原码：0B 0000 100
反码：0B 1111 011
补码：0B 1111 100

综上，可以得到有符号的范围是：

3 Q数据的运算3.1 0x7FFF

最大数的十六进制为0x7FFF，如下图所示；

3.2 0x8000

最小数的十六进制为0X8000，如下图所示；

上述这两种情况，下面都会用到。

3.3 加法

加法和减法需要两个Q格式的数据定标相同，即 和 满足以下条件；

int16_t q_add(int16_t a, int16_t b)
{
    return a + b;
}

上面的程序其实并不安全，在一般的DSP芯片具有防止溢出的指令，但是通常需要做一下溢出检测，具体如下所示；

//http://great.blog.csdn.net/
int16_t q_add_sat(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t tmp;

    tmp = (int32_t)a + (int32_t)b;
    if (tmp > 0x7FFF)
        tmp = 0x7FFF;
    if (tmp < -1 * 0x8000)
        tmp = -1 * 0x8000;
    result = (int16_t)tmp;

    return result;
}
3.4 减法

类似于加法的操作，需要相同定标的两个Q格式数进行相减，但是不会存在溢出的情况；

//http://great.blog.csdn.net/
int16_t q_sub(int16_t a, int16_t b)
{
    return a - b;
}
3.5 乘法

乘法同样需要考虑溢出的问题，这里通过sat16函数，对溢出做了处理；

//http://great.blog.csdn.net/
// precomputed value:
#define K   (1 << (Q - 1))

// saturate to range of int16_t
int16_t sat16(int32_t x)
{
    if (x > 0x7FFF) return 0x7FFF;
    else if (x < -0x8000) return -0x8000;
    else return (int16_t)x;
}

int16_t q_mul(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t temp;

    temp = (int32_t)a * (int32_t)b; // result type is operand's type
    // Rounding; mid values are rounded up
    temp += K;
    // Correct by dividing by base and saturate result
    result = sat16(temp >> Q);

    return result;
}
3.6 除法//http://great.blog.csdn.net/
int16_t q_div(int16_t a, int16_t b)
{
    /* pre-multiply by the base (Upscale to Q16 so that the result will be in Q8 format) */
    int32_t temp = (int32_t)a << Q;
    /* Rounding: mid values are rounded up (down for negative values). */
    /* OR compare most significant bits i.e. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) */
    if ((temp >= 0 && b >= 0) || (temp < 0 && b < 0)) {   
        temp += b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp += (b >> 1); */
    } else {
        temp -= b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp -= (b >> 1); */
    }
    return (int16_t)(temp / b);
}
4 常见Q格式的数据范围

定点数和浮点数转换的关系满足以下公式：

其中为，m表示整数位数，n表示小数位数；

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <math.h>


int main()
{
    // 0111 1111 1111 1111
    int16_t q_max = 32767; // 0x7FFF
    // 1000 0000 0000 0000
    int16_t q_min = -32768; // 0x8000
    float f_max = 0;
    float f_min = 0;
    printf("\r\n");
    for (int8_t i = 15; i>=0; i--) {
        f_max = (float)q_max / pow(2,i);
        f_min = (float)q_min / pow(2,i);

        printf("\t| Q %d | Q %d.%d| %f | %f |\r\n",
               i,(15-i),i,f_max,f_min);
    }

    return 0;
}

运行得到结果如下所示；

Q 格式

Qmn

Max

Min

Q 15Q 0.150.999969-1.000000
Q 14Q 1.141.999939-2.000000
Q 13Q 2.133.999878-4.000000
Q 12Q 3.127.999756-8.000000
Q 11Q 4.1115.999512-16.000000
Q 10Q 5.1031.999023-32.000000
Q 9Q 6.963.998047-64.000000
Q 8Q 7.8127.996094-128.000000
Q 7Q 8.7255.992188-256.000000
Q 6Q 9.6511.984375-512.000000
Q 5Q 10.51023.968750-1024.000000
Q 4Q 11.42047.937500-2048.000000
Q 3Q 12.34095.875000-4096.000000
Q 2Q 13.28191.750000-8192.000000
Q 1Q 14.116383.500000-16384.000000
Q 0Q 15.032767.000000-32768.0000005 0x5f3759df

Q格式虽然十分抽象，但是且看看这个数字0x5f3759df，感觉和Q格式有某种联系，它是雷神之锤3中的一个算法的魔数，毕竟游戏引擎需要充分考虑到效率，具体的由来可以看一下论文《Fast Inverse Square Root》，下面是源码中剥出来的快速平方根算法；

float Q_rsqrt( float number )
{
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;

    x2 = number * 0.5F;
    y   = number;
    i   = * ( long * ) &y;   // evil floating point bit level hacking
    i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    y   = * ( float * ) &i;
    y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
    // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed

    #ifndef Q3_VM
    #ifdef __linux__
         assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
    #endif
    #endif
    return y;
}  
6 总结

本文介绍了Q格式的表示方式以及相应的运算，另外需要注意在Q格式运算的时候，两者定标必须相同，对于数据的溢出检测也要做相应的处理。